حل تمرین 1تا 4 صفحه 61 ریاضی و آمار دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه 61 ریاضی دهم انسانی سلام دانش‌آموزان! برای پیدا کردن ضابطه‌ی یک **تابع خطی** ($athbf{f(x) = mx + n}$)، کافی است دو نقطه از آن را داشته باشیم. در اینجا، دو نقطه $\mathbf{(1, 1)}$ و $\mathbf{(2, 4)}$ را داریم. ### گام ۱: یافتن شیب ($athbf{m}$) شیب خط از فرمول $\mathbf{m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}$ به دست می‌آید: $$\mathbf{m = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{4 - 1}{2 - 1}}$$ $$\mathbf{m = \frac{3}{1} = 3}$$ ### گام ۲: یافتن عرض از مبدأ ($athbf{n}$) می‌دانیم $\mathbf{f(x) = 3x + n}$. از یکی از نقاط (مثلاً $\mathbf{f(1) = 1}$) برای یافتن $\mathbf{n}$ استفاده می‌کنیم: $$\mathbf{f(1) = 3(1) + n = 1}$$ $$\mathbf{3 + n = 1}$$ $$\mathbf{n = 1 - 3 = -2}$$ **پاسخ نهایی:** ضابطه تابع $\mathbf{f(x) = 3x - 2}$ است. بنابراین، $\mathbf{m = 3}$ و $\mathbf{n = -2}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه 61 ریاضی دهم انسانی همانند سؤال قبل، ابتدا باید ضابطه‌ی تابع خطی ($athbf{f(x) = mx + n}$) را پیدا کنیم و سپس مقادیر خواسته شده را محاسبه نماییم. ### گام ۱: یافتن شیب ($athbf{m}$) نقاط داده شده: $\mathbf{(1, 5)}$ و $\mathbf{(2, 8)}$ $$\mathbf{m = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{8 - 5}{2 - 1}}$$ $$\mathbf{m = \frac{3}{1} = 3}$$ ### گام ۲: یافتن عرض از مبدأ ($athbf{n}$) با جایگذاری $\mathbf{m=3}$ و نقطه $\mathbf{f(1) = 5}$ در $\mathbf{f(x) = 3x + n}$: $$\mathbf{f(1) = 3(1) + n = 5}$$ $$\mathbf{3 + n = 5}$$ $$\mathbf{n = 5 - 3 = 2}$$ **ضابطه تابع:** $\mathbf{f(x) = 3x + 2}$ ### گام ۳: محاسبه $\mathbf{f(-3)}$ و $\mathbf{f(5)}$ 1. **محاسبه $\mathbf{f(-3)}$:** $$\mathbf{f(-3) = 3(-3) + 2 = -9 + 2 = -7}$$ 2. **محاسبه $\mathbf{f(5)}$:** $$\mathbf{f(5) = 3(5) + 2 = 15 + 2 = 17}$$ **پاسخ نهایی:** $\mathbf{f(-3) = -7}$ و $\mathbf{f(5) = 17}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه 61 ریاضی دهم انسانی این تمرین شامل دو مرحله است: **پیدا کردن ضابطه‌ی تابع** و **رسم نمودار در یک دامنه‌ی محدود**. ### گام ۱: تعیین ضابطه تابع سؤال فقط یک نقطه ($\mathbf{M(2, 5)}$) را مشخص کرده و شیب ($athbf{m}$) را نداده است. برای رسم، باید یک مقدار دلخواه برای شیب انتخاب کنیم. * **فرض شیب:** فرض می‌کنیم شیب خط $\mathbf{m = 1}$ باشد. * **ضابطه:** $\mathbf{f(x) = 1x + n}$. با جایگذاری $\mathbf{(2, 5)}$: $$\mathbf{5 = 1(2) + n \Rightarrow n = 5 - 2 = 3}$$ * **ضابطه انتخابی:** $\mathbf{f(x) = x + 3}$ ### گام ۲: رسم نمودار در دامنه محدود **دامنه:** $\mathbf{D_f = [0, 10]}$ (نمودار فقط بین $\mathbf{x=0}$ و $\mathbf{x=10}$ وجود دارد.) 1. **محاسبه نقطه شروع ($athbf{x=0}$):** $$\mathbf{f(0) = 0 + 3 = 3}$$ **نقطه شروع:** $\mathbf{(0, 3)}$ (باید یک دایره پر باشد، چون $\mathbf{x \ge 0}$) 2. **محاسبه نقطه پایان ($athbf{x=10}$):** $$\mathbf{f(10) = 10 + 3 = 13}$$ **نقطه پایان:** $\mathbf{(10, 13)}$ (باید یک دایره پر باشد، چون $\mathbf{x \le 10}$) 3. **رسم:** نمودار یک خط راست است که نقطه $\mathbf{(0, 3)}$ را به نقطه $\mathbf{(10, 13)}$ وصل می‌کند. نمودار خارج از این محدوده رسم نمی‌شود. **نکته:** هر تابع خطی دیگری که از $\mathbf{(2, 5)}$ بگذرد و در دامنه‌ی $\mathbf{[0, 10]}$ رسم شود نیز پاسخ درست است. (مثلاً $\mathbf{f(x) = 2x + 1}$ یا $\mathbf{f(x) = -x + 7}$).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه 61 ریاضی دهم انسانی این مسئله بر ویژگی‌های خاص تابع خطی که از **مبدأ** می‌گذرد، تکیه دارد. ### گام ۱: یافتن ضابطه تابع **1. شرط مبدأ:** «از مبدأ می‌گذرد» یعنی $\mathbf{b = 0}$، پس ضابطه به صورت $\mathbf{f(x) = mx}$ است. **2. یافتن شیب ($athbf{m}$):** از نقطه $\mathbf{(2, 7)}$ استفاده می‌کنیم: $$\mathbf{f(2) = m(2) = 7}$$ $$\mathbf{m = \frac{7}{2} = 3.5}$$ **ضابطه تابع:** $\mathbf{f(x) = 3.5x}$ ### گام ۲: محاسبه اختلاف مقادیر اختلاف $\mathbf{f(0.1)}$ و $\mathbf{f(-0.1)}$ را می‌خواهیم: $$\mathbf{\text{اختلاف} = f(0.1) - f(-0.1)}$$ 1. **محاسبه $\mathbf{f(0.1)}$:** $\mathbf{f(0.1) = 3.5 \times 0.1 = 0.35}$ 2. **محاسبه $\mathbf{f(-0.1)}$:** $\mathbf{f(-0.1) = 3.5 \times (-0.1) = -0.35}$ $$\mathbf{\text{اختلاف} = 0.35 - (-0.35)}$$ $$\mathbf{\text{اختلاف} = 0.35 + 0.35 = 0.7}$$ **پاسخ نهایی:** اختلاف $\mathbf{f(0.1)}$ و $\mathbf{f(-0.1)}$ برابر $\mathbf{0.7}$ یا $\mathbf{\frac{7}{10}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه 61 ریاضی دهم انسانی این یک مسئله‌ی زیبا درباره **نرخ تغییر (شیب)** در توابع خطی است. در تابع خطی، افزایش (یا کاهش) در متغیر مستقل ($athbf{C}$) ضرب در شیب، برابر با افزایش (یا کاهش) در متغیر وابسته ($athbf{F}$) است. ### گام ۱: تحلیل افزایش دما 1. **تابع:** $\mathbf{F(C) = \frac{9}{5}C + 32}$ 2. **افزایش دما بر حسب سانتی‌گراد:** $\mathbf{\Delta C = 20}$ درجه 3. **شیب تابع:** $\mathbf{m = \frac{9}{5}}$ ### گام ۲: محاسبه افزایش دما بر حسب فارنهایت **افزایش در $athbf{F}$** ($athbf{\Delta F}$) برابر است با شیب ضرب در **افزایش در $athbf{C}$** ($athbf{\Delta C}$): $$\mathbf{\Delta F = m \times \Delta C}$$ $$\mathbf{\Delta F = \frac{9}{5} \times 20}$$ $$\mathbf{\Delta F = 9 \times 4 = 36}$$ **توضیح مفهومی:** چون تابع $athbf{F(C)}$ خطی است، افزایش ۳۲ درجه‌ای (جمله‌ی $athbf{b}$) فقط نقطه‌ی شروع را تغییر می‌دهد و تأثیری بر میزان افزایش ندارد. **پاسخ نهایی:** دمای جسم بر حسب فارنهایت، $\mathbf{36}$ درجه افزایش داشته است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه 61 ریاضی دهم انسانی در علم اقتصاد، **سود ($athbf{P}$)** برابر است با **درآمد ($athbf{R}$)** منهای **هزینه ($athbf{C}$)**. هر سه تابع، در این مثال، خطی هستند. ### الف) تعیین تابع سود ($athbf{P(x)}$) **گام ۱: تعیین تابع درآمد ($athbf{R(x)}$)** چون هر کالا $\mathbf{70}$ تومان فروخته می‌شود: $$\mathbf{\text{درآمد } R(x) = 70x}$$ **گام ۲: تعیین تابع سود ($athbf{P(x)}$)** $$\mathbf{\text{سود } P(x) = R(x) - C(x)}$$ $$\mathbf{P(x) = 70x - (3000 + 50x)}$$ $$\mathbf{P(x) = 70x - 50x - 3000}$$ $$\mathbf{P(x) = 20x - 3000}$$ **تابع سود:** $\mathbf{P(x) = 20x - 3000}$ **رسم نمودار:** نمودار یک خط راست است با شیب $\mathbf{20}$ و عرض از مبدأ $\mathbf{-3000}$. * **نقطه شروع ($\mathbf{x=0}$):** $\mathbf{P(0) = -3000}$ (هزینه ثابت اولیه) * **نقطه سربه‌سر ($\mathbf{P(x) = 0}$):** $\mathbf{20x - 3000 = 0 \Rightarrow 20x = 3000 \Rightarrow x = 150}$ (نقطه $\mathbf{(150, 0)}$) ### ب) حداقل تعداد کالا برای سوددهی **شرط سوددهی:** سود باید **مثبت** باشد ($athbf{P(x) > 0}$). $$\mathbf{20x - 3000 > 0}$$ $$\mathbf{20x > 3000}$$ $$\mathbf{x > \frac{3000}{20}}$$ $$\mathbf{x > 150}$$ **پاسخ نهایی:** شرکت باید حداقل $\mathbf{151}$ کالا بفروشد تا سوددهی آغاز شود (چون تعداد کالا باید یک عدد صحیح باشد). $\mathbf{x=150}$ نقطه سربه‌سر است (نه سود، نه زیان).